フェルマーの最終定理あるいはフェルマーの大定理とは 3 以上の自然数 n について、xn + yn = zn となる 0 でない自然数 (x, y, z) の組み合わせがない、という定理のことである。
n = 2 のとき、上の式を満たす整数の組は無数に存在しピタゴラス数と呼ばれる。このような数は具体的に書き表わすことができる。
フェルマーが驚くべき証明を得たと書き残したと伝えられ、長らくその証明も反例も知られなかったことからフェルマー予想とも称されたが、360年後にワイルズによって完全な証明が発見され、フェルマー・ワイルズの定理と呼ばれるに至る。
17世紀、フランスの数学者フェルマー（1601年 - 1665年）には、ディオファントスの著作『算術』を読みながら本文中の記述に関連した着想を得ると、それを余白に書き残しておくという習慣があった。狭い余白であるために証明を省略された（ただし、充分な余白がある場合にもフェルマーはしばしば証明抜きで彼の発見を発表した。例えばフェルマーの小定理を実際に証明したのはライプニッツである）これらの定理あるいは予想が知られるようになったのは、フェルマーの没後、彼の息子サミュエルによってフェルマーの書き込み入りの『算術』が再刊されてからである（フェルマーの手書きのメモが入った『算術』は今日では失われている）。これら48ヶ所の書き込みのうち、『算術』第2巻第8問「x2 + y2 = a2 の有理数解を求めよ」の欄外余白に「n が3以上のとき、一つの n 冪を二つの n 冪の和に分けることはできない。この定理に関して、私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる」と書き残した。
しかし彼の残した他の予想は全て決着が着いたのにもかかわらず、この予想だけは証明することも反例をあげることもできなかったために、フェルマーの最終定理と呼ばれるようになり、プロとアマチュアとを問わず、無数の数学者がその証明に挑んだ。
証明は、n = 4のときと n が素数のときのみ考えればよい。たとえば、n = 6 のときは (x2)3 + (y2)3 = (z2)3 と書き直すことができるからだ。n が具体的な値をとるいくつかの場合についてはさまざまな証明が与えられた。
オイラーは1753年にゴールドバッハへ宛てた書簡の中で n = 3 の場合の証明法について言及し、1770年に刊行した著書でそれを明らかにした。ただし、この証明は虚数のレベルまで因数分解を行ったものであったが、虚数のレベルまで因数分解をすると様々な複素数の積に分解できてしまうという不備があったので、のちに補正された。
ソフィ・ジェルマンは、フェルマー予想を「1) x, y, z のいずれかが n で割り切れる」「2) x, y, z のいずれも n では割り切れない」という二つのパターンに分類し、100以下のすべての n について、パターン 1) に関してはフェルマー予想が正しいことを証明した。しかし、フェルマー予想の反例が含まれるかもしれないパターン 2) に関しての研究は難航した。パターン 2) も含めて n = 5 の場合を完全に証明したのはディリクレとルジャンドルであるが、ジェルマンまでは（そしてジェルマン以降も当面は）「n = 3 のとき」あるいは「n = 4 のとき」といった個別研究の域を出なかったこの問題に対し、指数の範囲が限られているとはいえ包括的な証明を与えようとした点において、ジェルマンの研究成果の意義はきわめて大きい。
1832年にディリクレは n = 14 の場合を証明したが、上述の通り n が素数である場合の方が肝要なので、これは n = 7 の場合を証明するための途中経過であった。しかし実際に n = 7 の場合を証明したのはラメ（1839年）と、ラメの証明に含まれていた誤りを訂正したルベーグであった。
1847年、ラメは「フェルマー予想の一般的解法を発見した」と発表し、同じ解法を自分の方が先に発見していたと主張するコーシーとのあいだで論争にまでなった。しかしこの解法とは xn + yn = zn の左辺を複素数で素因子分解するというものであり、この分解は一意的なものでないためこの問題に関する解法たりえていないことが指摘される。
また、 n = 7 の場合についてのラメの証明があまりにも複雑なものだったため、同様の手法で n = 11 や 13 の場合について研究してみようと思う者はいなくなり、個別研究の時代は終わる。
コーシーとラメが争っていたのと同じころ、エルンスト・クンマーがみずから打ち立てた理想数の理論（後にデデキントがイデアルの理論として発展させる）を導入する。これにより、多くの素数において一意的な因数分解が可能となり、 n が正則素数である（もしくは正則素数で割り切れる）すべての場合については証明がなされた。虚数レベルでの一意的な因数分解が不可能な非正則素数も無限に存在するが、クンマーは 100 以下の非正則素数（37, 59, 67 の 3 個しかない）についてはそれぞれ個別に研究して解決した。その結果、 100 までのすべての指数 n について（当然 100 以下の素数を約数にもつすべての n についても）フェルマー予想が成り立つことが証明され、それまでの個別研究からこの問題は大きく飛躍した。
1850年、フランス科学アカデミーは、1816年に設けたまま受賞者の出なかった「フェルマー予想の証明者」のための懸賞金を（最終的解決でないことを承知の上で）クンマーに与えた。
ポアンカレは複素平面上の関数についての研究から、保型形式およびそのアイディアをさらに展開したモジュラー形式を案出する。
ファルティングスによるモーデル予想の解決（1983年）により、フェルマー方程式 xn + yn = zn が整数解をもつならば（つまりフェルマー予想が誤りならば）その解の個数は本質的に有限個しかないことが証明される。この「有限個」が「実は 0 個」であることが示されればフェルマー予想は証明できたことになるが、この方向からの絞込みには行き詰まりが指摘されていた。ともあれ、この時点でフェルマー予想が「殆ど全ての場合について正しい」ことが判明したと言うことはできた。
1955年9月日光で開催された整数論に関する国際会議で、谷山豊が提出した幾つかの「問題」を原型とする数学の予想。そこでは楕円曲線とモジュラー形式の間の深い関係が示唆されており、後に志村五郎によって定式化された。「すべての楕円曲線はモジュラーである」という、発表当時は注目を引かなかったこの谷山・志村予想（今となっては証明されているが）が、のちにフェルマー予想の証明に大きな役割を果たすこととなる。
実はこの前年の1954年、ある保型形式に関するラマヌジャン予想の一部をアイヒラーが証明していた。そこでは「解析的ゼータ＝代数的ゼータ」が示されており、谷山・志村予想の最初の実例と呼べるものだった。 このラマヌジャン予想→谷山・志村予想→ラングランズ予想→超ラングランズ予想という一連の流れ（ゼータの統一）は数論の中心的テーマの一つとなっている。
1984年にフライはフェルマーの最終定理に対する反例 an + bn = cn からはモジュラーでない楕円曲線（フライ曲線）：
が得られ、これは谷山・志村予想に対する反例を与えることになるというアイディアを提示。セールによって定式化されたこの予想はフライ・セールのイプシロン予想と呼ばれ、1986年にケン・リベットによって証明された。
つまり、谷山・志村予想が証明されたならば、それはフェルマーの最終定理が証明されたことをも意味するのである。
プリンストン大学にいたイギリス生まれの数学者アンドリュー・ワイルズは岩澤主予想（en:Iwasawa main conjecture）を解決するなど、もともと数論の研究者として有名な人物であった。彼は10歳当時に触れたフェルマー予想に憧れて数学者となったが、プロともなってからは無論そうした子供時代の夢は封印し、フェルマー予想のような孤立した骨董品ではなく主流数学の研究に勤しんでいた。ところが1986年、リベットがフライ・セール予想を解決したことにより、フェルマー予想に挑むことは、何と主流数学の一大予想に挑むことと同義になってしまった。かつての憧れだったものが、今や骨董品どころか解かずには済まされない中心課題の一つになったのである。ワイルズはこのことに強い衝撃を受け発奮、正にフェルマー予想の解決を目的として、他の研究を全て止めて谷山・志村予想に取り組むこととなった。但しこの際、彼は人々の耳目を集め過ぎることを懸念して、表面的には未発表の研究成果を小出しにすることで偽装し、谷山・志村予想の研究は秘密裏に遂行することとした。
ワイルズは、代数幾何学（特に楕円曲線と群スキーム）や数論（モジュラー形式やガロワ表現、ヘッケ環、岩澤理論）の高度な道具立てを用いて証明を試みたが、類数公式の導出に当り岩澤理論を用いる方向では行き詰まってしまった。そこでコリヴァギン＝フラッハ法に基づくよう方針転換し、最後のレビュー段階でプリンストンの同僚ニック・カッツの助けを得るまで、細部に至るまでの証明を完璧な秘密のうちにほぼすべて独力でなしとげた（ここまでで七年が経過していた）。彼がケンブリッジ大学で1993年の6月21日から23日にかけて三つの講義からなるコースで証明を発表したとき、聴衆は証明に使われた数々の発想と構成に驚愕した。
しかし、不幸なことに精査の過程で深刻な間違いが発見され証明は破綻するかに思われた。ワイルズと彼の元学生リチャード・テイラーはそれから約一年を証明の修正に当てたが難航。1994年9月、ワイルズは証明を断念する一歩手前で、せめて不具合の原因を明確化しようと考え、最後の見直しを掛けた。その際に突如として、彼はコリヴァギン＝フラッハ法を失敗させる原因が、実は岩澤理論を機能させるものであることを電撃的に悟り、はじめ試みて放棄していた岩澤理論とコリヴァギン＝フラッハ法と組み合わせることによって障害を回避することに成功した。1994年10月に新しい証明を発表、1995年のAnnals of Mathematics誌において出版し、360年に渡る歴史に決着を付けた。
この証明はスキームの圏などの現代的な代数幾何の構成をもちいている。これはノイマン・ベルナイス・ゲーデル流の集合論（NBG集合論）という、通常の集合に加えて類 (class) を考え、ただし集合に対する言明の真偽（証明可能性）はZFC集合論と同じになる（ZFCの保存的拡大という）ようにした枠組みで定義される。NBG集合論は本質的にはZFC集合論と同じもので、ZFC集合論に到達不能基数の存在公理を付け加えてグロタンディーク宇宙の構成を可能にしたもので置き換えられると考えられている。このことから最終定理の証明のために本当はどれだけの公理が必要なのかについては疑問が呈されてもいて、ZFCよりは弱い体系でも十分なのではないかと言われている。
谷山・志村予想に関してワイルズとテイラーが証明したのは半安定とよばれる特殊な場合であった。フェルマーの最終定理（の反例）からくるであろう反例の可能性を排除するにはこれで十分だった。結局は谷山・志村予想は完全に証明され、今では数論の一つの到達点とされてモジュラー性定理とよばれることもある。
フェルマーの最終定理の解決に至るまでの歴史には谷山・志村予想を提唱した谷山豊、志村五郎の他にも岩澤健吉や肥田晴三ら日本人数学者の理論が大きく寄与している。
フェルマー自身は n = 4 のときの証明を無限降下法によって与えているが、これは n = 3 および 4 のときにしか用いることができない。また、ワイルズによる最終的な証明に用いられた理論の大半はフェルマーの時代にはまだ発見・提唱されていないことから、「真に驚くべき証明を見つけた」という記述は、この無限降下法がすべての自然数に対して適用可能であるとの勘違いによるものと考えられる。
1908年、ドイツの富豪ヴォルフスケールは2007年9月13日までの期限付きでフェルマー予想の証明者に対して10万マルクの懸賞金を設けた(Wolfskehl Prize)。当然のことながらワイルズが受賞し、その賞金は約500万円程度であるが、第一次大戦後の大インフレがなければ十数億円であったといわれる。授賞式は1997年6月、ゲッチンゲン大学の大ホールにて、500人の数学者が列席する中執り行われた。
現在も未解決の問題の大多数は、難解な用語を用いなければ表現できないものであるのに対し、本定理の結果は中学生程度の知識さえあれば理解できる内容であるため、予想の段階では数多くのアマチュア数学ファンがこれを解決しようと熱中し、数学を志した者もいた。最終的に解決に導いたワイルズ自身もそうした者の一人であった。その意味でも、数学界にとっては若い才能を持った者が数学への扉を叩く動機となる貴重な問題であったといえよう。
アミール・D・アクゼル 『天才数学者たちが挑んだ最大の難問―フェルマーの最終定理が解けるまで』 吉永良正訳、早川書房、1999年。ISBN 4152082240 文庫版 ISBN 415050282X
足立恒雄 『フェルマーの大定理が解けた！―オイラーからワイルズの証明まで』 講談社〈ブルーバックスB1074〉、1995年。ISBN 4062570742
サイモン・シン 『フェルマーの最終定理―ピュタゴラスに始まり、ワイルズが証明するまで』 青木薫訳、新潮社、2000年。ISBN 4105393014 文庫版 ISBN 4102159711
この項目「フェルマーの最終定理」は、数学に関連した書きかけの項目です。加筆・訂正などをして下さる協力者を求めています。
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